Nous donnerons ici un exemple simple d'utilisation de la librairie Dn d'OpenMusic pour produire des résultats sur la Set Theory elle-même. En effet, lors des analyses qui utilisent la Set Theory, on est souvent amené à se demander si les propriétés que l'on découvre au sein des oeuvres sont représentatives de l'oeuvre, ou s'il s'agit d'artéfacts produit par la théorie elle-même.
Forte, dans son analyse du sacre du printemps de Stravinski, annonce qu'un groupe d'accord à 7 sons est très présent tout au long de l'oeuvre. Il s'agit des accords 7-16, 7-31, 7-32 (cf, "The harmonic organization of the rite of spring", Allen Forte). Il remarque la chose suivante : chacun des 3 accords, contients les 3 complémentaires :
Cette propriété est intéressante, mais à quel point ? Est-ce vraiment rare ou peut-on trouver d'autres cas ?
Nous allons donc utiliser Open music et la librairie Dn pour essayer de répondre à la question. Nous allons calculer, pour chacun des triplets d'accord de 5 sons, les accords de 7 sons dans lesquels ils ont inclus.
Après la confections de plusieurs patchs et quelques minutes de calcul, nous arrivons au résultat suivant. Il y a 38 accords à 5 sons, ce qui nous fait 8436 triplets différents. Pour chacun des triplets, nous avons obtenu la liste des accords de 7 sons qui contiennent les 3 accords. En voici un extrait :
Format ((liste des accords de 5 sons) (liste des accords de 7 sons qui les cotiennent)) (((5-3 5-2 5-1) (7-1 7-2 7-3 7-4)) ((5-4 5-2 5-1) (7-1 7-2 7-3 7-4 7-8 7-9 7-10)) ((5-5 5-2 5-1) (7-2 7-3 7-4 7-9 7-10)) ((5-6 5-2 5-1) (7-1 7-4)) ((5-7 5-2 5-1) (7-4)) ((5-8 5-2 5-1) (7-1 7-2 7-4 7-8 7-9 7-10)) ((5-9 5-2 5-1) (7-1 7-2 7-4 7-8 7-9 7-10)) ((5-10 5-2 5-1) (7-1 7-2 7-4 7-8 7-9 7-10)) ((5-11 5-2 5-1) (7-2 7-3 7-4 7-10)) ((5-z12 5-2 5-1) (7-1 7-4)) ((5-13 5-2 5-1) (7-3 7-8 7-9)) ((5-14 5-2 5-1) (7-2 7-9)) ((5-15 5-2 5-1) (7-9)) ((5-16 5-2 5-1) (7-2 7-3 7-4 7-10)) ((5-z17 5-2 5-1) (7-3 7-9)) ((5-z18 5-2 5-1) (7-2 7-4)) ((5-19 5-2 5-1) (7-4)) ((5-20 5-2 5-1) nil) ((5-21 5-2 5-1) (7-3)) ((5-22 5-2 5-1) nil) ((5-23 5-2 5-1) (7-2 7-9)) ...
Maintenant nous pouvons effectuer plusieurs tris. Pour commencer par ce qui nous intéresse, nous pouvons filtrer, et ne garder que les triplets qui sont contenus par leur complémentaires. Toujours, à l'aide d'Open Music, nous en comptons 440, ce qui fait 5,2 %. Cette propriété est donc relativement significative.
(((5-3 5-2 5-1) (7-1 7-2 7-3 7-4)) ((5-4 5-2 5-1) (7-1 7-2 7-3 7-4 7-8 7-9 7-10)) ((5-8 5-2 5-1) (7-1 7-2 7-4 7-8 7-9 7-10)) ((5-9 5-2 5-1) (7-1 7-2 7-4 7-8 7-9 7-10)) ((5-10 5-2 5-1) (7-1 7-2 7-4 7-8 7-9 7-10)) ((5-4 5-3 5-1) (7-1 7-2 7-3 7-4)) ((5-6 5-4 5-1) (7-1 7-4 7-6)) ((5-8 5-4 5-1) (7-1 7-2 7-4 7-8 7-9 7-10)) ((5-9 5-4 5-1) (7-1 7-2 7-4 7-8 7-9 7-10)) ((5-10 5-4 5-1) (7-1 7-2 7-4 7-8 7-9 7-10)) ((5-9 5-8 5-1) (7-1 7-2 7-4 7-8 7-9 7-10)) ((5-10 5-8 5-1) (7-1 7-2 7-4 7-8 7-9 7-10)) ((5-10 5-9 5-1) (7-1 7-2 7-4 7-8 7-9 7-10)) ((5-4 5-3 5-2) (7-1 7-2 7-3 7-4 7-5 7-11 7-16 7-z36)) ((5-5 5-3 5-2) (7-2 7-3 7-4 7-5 7-z36)) ((5-11 5-3 5-2) (7-2 7-3 7-4 7-11)) ((5-16 5-3 5-2) (7-2 7-3 7-4 7-16)) ((5-z36 5-3 5-2) (7-2 7-3 7-4 7-5 7-z36)) ((5-5 5-4 5-2) (7-2 7-3 7-4 7-5 7-9 7-10 7-z18 7-24 7-z36)) ((5-8 5-4 5-2) (7-1 7-2 7-4 7-8 7-9 7-10)) ((5-9 5-4 5-2) (7-1 7-2 7-4 7-5 7-8 7-9 7-10 7-24)) ((5-10 5-4 5-2) (7-1 7-2 7-4 7-5 7-8 7-9 7-10 7-11 7-16 7-z36)) ((5-11 5-4 5-2) (7-2 7-3 7-4 7-10 7-11)) ((5-16 5-4 5-2) (7-2 7-3 7-4 7-10 7-16)) ...
Nous pouvons aussi calculer combien de triplet sont contenus par plus d'1, 2, 3, ... accords de 7 sons. Il en résulte le tableau suivant :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
On remarque donc que trouver un triplet d'accord de 5 sons contenus par au moins 3 accord de 7 sons (>2) n'est pas rare (31%), mais que ces accord soient les complémentaires, l'est beaucoup plus (5,2%).
Cette exemple montre que la librairie Dn met à la disposition de l'utilisateur un série d'outils qui peuvent servir à des calculs venant compléter la théorie. Ces calculs aurait été beaucoup plus fastidieux si nous avions du reprogrammer depuis le début.