La librairie Dn fournit un ensemble d'outils permettant d'effectuer des calculs classiques de la Set Théory. Combinée avec les fonctions d'Open Music, cette libraire peut être utilisée pour une analyse. Nous allons ici faire une brève description des outils offerts par cette librairie, puis nous pourrons voir comment mettre en oeuvre ces outils.
La set theory, développée par Allen Forte (1973) est basée sur la notion d'équivalence. C'est à dire qu'on va chercher à regrouper des éléments selon des relations d'équivalence que nous allons définir. La set theory s'attache particulièrement à l'analyse harmonique, mais on pourrait concevoir une théorie équivalente pour le rythme.
Classe de hauteur : une classe de hauteur regroupe toutes les notes distantes d'un nombre quelconque d'octave. C'est une équivalence à une octave près. Il y a en a donc exactement 12 dans le système tempéré. Ces classes seront dénotées par les nombres 0 (Do), 1 (Do#), 2(Ré), ..., 11(Si). On se retrouve donc dans le groupe cyclique Zn
Ensemble de classes de hauteur (ECH) : comme son nom l'indique un ECH est une collection de 3 à 9 classes de hauteurs. Moins de 3 ne représente pas un accord, et par symétrie, Forte a exclu les ECH de plus de 3 classes de hauteurs. Ce qui peut être critiqué. Ces ECH peuvent être dénotés par une liste de nombre : (0 1 4 8) ou (1 3 4 5 9 11)
Open Music fournit un patch très utile : n-cercle, qui permet de visualiser un ECH dans un cercle. Cette représentation a l'avantage de bien nous montrer la structure de l'ECH, et les transformations que nous pourrons faire avec.
Nous allons ensuite voir les notions suivantes en parallèle avec les outils offerts par la librairie Dn.
Les deux opérations principales que nous pouvons définir sur ces ECH sont la transposition et l'inversion. Ces opérations représentent respectivement sur le cercle la rotation et la symétrie par rapport à l'axe vertical. La librairie Dn met à notre disposition deux patchs : transp et inv qui permettent de calculer des transpositions et des inversions.
Une troisième opération est disponible, et permet de calculer le complémentaire d'un ECH, c'est à dire les l'ensemble des classes qui n'appartiennent pas à l'ECH. Cette opération est disponible via le patch comp.
L'idée d'Allen Forte, c'est de créer des classes d'ECH. On peut tout d'abord considérer que tous les ECH sont équivalents à transposition près, ce qui revient à dire que tous les accord majeurs sont équivalent, de même pour les mineurs, les septièmes, etc. Ce qui revient à considérer l'action de Zn sur lui même.
Mais Forte va un peut plus loin en considérant les ECH comme équivalent à transposition et inversion près. Il s'agit donc de l'action du groupe Dn (dihedral) sur Zn. Forte définit la prime form d'un ECH comme l'ECH le plus compact et ayant les plus petit intervales au début, équivalents à une transposition ou une inversion près. Les outils de la librairie Dn nous permettent de visualiser des exemples.
La prime form est le représentant de la classe d'ECH, équivalent à une transposition et une inversion près.
Un autre indicateur de la strucure d'un ECH est le vecteur d'intervalles. Il représente le nombre d'intervalles présents dans la structure, sous forme d'une liste, dont le premier élément est le nombre de secondes mineures, le deuxième le nombre de secondes majeures, ... jusqu'au nombre de tritons.
Les relations de complémentarité d'inversion, permettent de définir des familles d'accord particuliers:
Ces familles peuvent être calculées grâce au patch famille de la librairie Dn. Ce patch permet également le calcul des modes à transposition limitée, ainsi que des accords partionnants.
Forte définit le complex d'un accord A comme l'ensemble des accords B tels que B est inclu dans A ou A inclu dans B, ou le complémentaire de B est inclu dans A ou A est inclu dans le complémentaire de B.
Le sous complex est une restriction du complex, il s'agit de l'ensemble des accords B tels que B est inclu dans A ou A inclu dans B, et le complémentaire de B est inclu dans A ou A est inclu dans le complémentaire de B.
Le patch, sub-complex permet de calculer ces ensembles.