Le retour des lapins

Le mod�le pr�c�dant poss�de l'avantage de la simplicit�, mais l'inconv�niant de ne consid�rer la r�actualisation de la population qu'une fois par an, alors que les lapins ne manquent pas de s'�battre et de se reproduire � tous les moments de l'ann�e. Autrement dit, un mod�le plus r�aliste consiste � consid�rer la fonction du temps f(t), qui mesure en continue la population lapine. Les d�mographes lapins constatent que le taux d'accroissement instantann� de la population est donn� par: f'(t) = r f(t). On suppose que la population initiale, f(0), est de 500 lapins, et que le temps est mesur� en ann�es.

• Donner la loi d'�volution instantan�e f(t) de la population des lapins [dsolve].
• De combien cette population augmente-t-elle d'une ann�e sur l'autre. Par comparaison avec le mod�le discr�tis� pr�c�dant, d�duire une relation entre r et R.

Comme d'habitude, les lapins consomment trop rapidement leur ressource en nourriture, ce qui r�duit leur taux d'accroissement instantan�. Les d�mographes lapins constatent donc que l'�volution de leur population suit le sch�ma suivant: . Autrement dit, plus le nombre de lapin s'approche de , plus le taux de croissance diminue.

• Donner la nouvelle loi d'�volution instantan�e f(t) de la population des lapins [dsolve].
• Quelle est la limite de f(t)?
• Repr�senter graphiquement sur 10 ann�es l'�volution de la population pour r valant successivement 1,2 et 4.