Le retour des lapins

Le modèle précédant possède l'avantage de la simplicité, mais l'inconvéniant de ne considérer la réactualisation de la population qu'une fois par an, alors que les lapins ne manquent pas de s'ébattre et de se reproduire à tous les moments de l'année. Autrement dit, un modèle plus réaliste consiste à considérer la fonction du temps f(t), qui mesure en continue la population lapine. Les démographes lapins constatent que le taux d'accroissement instantanné de la population est donné par: f'(t) = r f(t). On suppose que la population initiale, f(0), est de 500 lapins, et que le temps est mesuré en années.

• Donner la loi d'évolution instantanée f(t) de la population des lapins [dsolve].
• De combien cette population augmente-t-elle d'une année sur l'autre. Par comparaison avec le modèle discrétisé précédant, déduire une relation entre r et R.

Comme d'habitude, les lapins consomment trop rapidement leur ressource en nourriture, ce qui réduit leur taux d'accroissement instantané. Les démographes lapins constatent donc que l'évolution de leur population suit le schéma suivant: . Autrement dit, plus le nombre de lapin s'approche de , plus le taux de croissance diminue.

• Donner la nouvelle loi d'évolution instantanée f(t) de la population des lapins [dsolve].
• Quelle est la limite de f(t)?
• Représenter graphiquement sur 10 années l'évolution de la population pour r valant successivement 1,2 et 4.