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Calcul de l'�nergie du syst�me

�nergie potentielle de rotation

: On constate que si m est fixe dans un r�f�rentiel galil�en li� � O, alors m d�crit un mouvement circulaire r�trograde dans le rep�re tournant. Comme l'�nergie m�canique totale du syst�me ne d�pend pas du r�f�rentiel choisi, l'�nergie cin�tique dans le r�f�rentiel galil�en compense exactement l'�nergie potentielle de rotation dans le rep�re tournant.

�valuer l'�nergie potentielle de rotation emmagasin�e par le corps m en fonction de G, tex2html_wrap_inline643 , tex2html_wrap_inline645 , tex2html_wrap_inline575 , tex2html_wrap_inline577 et m et de sa position.

�nergie potentielle gravitationnelle:

Donner l'expression du potentiel gravitationnel d� � la pr�sence des corps 1 et 2, en fonction de G, tex2html_wrap_inline613 , tex2html_wrap_inline615 , tex2html_wrap_inline575 , tex2html_wrap_inline577 et m.

�nergie potentielle totale:

V�rifier que l'�nergie potentielle du syst�me peut se mettre sous la forme:

equation105

Exprimer le rapport tex2html_wrap_inline665 en fonction uniquement de x, y, tex2html_wrap_inline643 et tex2html_wrap_inline645 .

Application graphique:

prendre tex2html_wrap_inline675 , tex2html_wrap_inline677 , et tracer la surface repr�sentant l'�nergie potentielle du syst�me. Il sera sans doute n�cessaire de visualiser tex2html_wrap_inline679 plut�t que U.

Les �quilibres du syst�me correspondent � des points pour lesquels les d�riv�es partielles de l'�nergie potentielle s'annullent simultan�ment (cela correspond aux extr�ma locaux de la surface), c'est-�-dire:

equation120

� partir du dessin de cette surface, d�duire les positions qualitatives des 5 points de Lagrange qui annullent simultan�ment les deux d�riv�es de U.

Position et :

Prouver par le calcul (� la main) que les seuls points de Lagrange qui ne sont pas align�s avec les deux corps forment un triangle �quilat�ral. Ces points sont connus sous le nom de tex2html_wrap_inline557 et tex2html_wrap_inline559 .



Stephan Tassart
Thu Feb 6 18:51:52 MET 1997