Calcul de l'énergie du système

Énergie potentielle de rotation

: On constate que si m est fixe dans un référentiel galiléen lié à O, alors m décrit un mouvement circulaire rétrograde dans le repère tournant. Comme l'énergie mécanique totale du système ne dépend pas du référentiel choisi, l'énergie cinétique dans le référentiel galiléen compense exactement l'énergie potentielle de rotation dans le repère tournant.

Évaluer l'énergie potentielle de rotation emmagasinée par le corps m en fonction de G, , , , et m et de sa position.

Énergie potentielle gravitationnelle:

Donner l'expression du potentiel gravitationnel dû à la présence des corps 1 et 2, en fonction de G, , , , et m.

Énergie potentielle totale:

Vérifier que l'énergie potentielle du système peut se mettre sous la forme:

Exprimer le rapport en fonction uniquement de x, y, et .

Application graphique:

prendre , , et tracer la surface représentant l'énergie potentielle du système. Il sera sans doute nécessaire de visualiser plutôt que U.

Les équilibres du système correspondent à des points pour lesquels les dérivées partielles de l'énergie potentielle s'annullent simultanément (cela correspond aux extréma locaux de la surface), c'est-à-dire:

À partir du dessin de cette surface, déduire les positions qualitatives des 5 points de Lagrange qui annullent simultanément les deux dérivées de U.

Position et :

Prouver par le calcul (à la main) que les seuls points de Lagrange qui ne sont pas alignés avec les deux corps forment un triangle équilatéral. Ces points sont connus sous le nom de et .