Position du problème

On considère un écoulement permanent irrotationnel d'un fluide supposé incompressible autour d'un cylindre de rayon R. Les conditions aux limites à l'infini sont données par la figure 1, c'est-à-dire un champs de vitesse uniforme de direction l'axe des x. La présence du cylindre impose à la vitesse particulaire d'être tangente au cylindre pour tous les points de sa surface.

  
Figure 1: Schéma

Équation du système:

montrer que sous ces hypothèses, le potentiel des vitesses vérifie l'équation différencielle dite de Laplace:

Solution générale du système:

on sépare les variables du potentiel: (g est alors forcément une fonction de période ).

• Reconnaître que g est solution d'une équation différentielle du type:

  

• Trouver une condition sur pour que g soit effectivement périodique de période [dsolve].
• Montrer que f vérifie alors une équation du type (où p est entier):

  

• Vérifier que peut s'écrire [dsolve]:

  

Conditions aux limites:

• Vérifier que le potentiel correspond aux conditions aux limites à l'infini (pour ce faire, on convertira l'expression précédante en coordonnées cartésiennes). En déduire les valeurs de p et de , puis de A et , dans l'expression générale du potentiel des vitesses.
• Calculer le champs des vitesses (en coordonnées polaires)[diff]. Considérant que le champs des vitesses doit être tangent au cylindre pour r=R, déterminer la valeur de B.

Étude du champs des vitesses:

les applications numériques et graphiques se font avec et R=1, en définissant par exemple l'ensemble AN:={v0=10,R=1};

• Tracer le champs de vecteur v (on passera en notation cartésienne) plots[fieldplot]. Pour faire disparaître le champs de vecteur à l'intérieur du cylindre, on multipliera le champs de vecteur par l'expression Heaviside(r^2/R^2-1) qui vaut 0 à l'intérieur du cylindre et 1 à l'extérieur du cylindre.
• On admettra que les lignes de courant et les lignes isopotentielles sont perpendiculaires. Vérifier que le gradient de la fonction de courant est perpendiculaire au champs des vitesses.
• Les lignes de courant sont définies commes étant les isopotentielles de la fonction de courant . Tracer les lignes de courant.

  On pourra s'aider des instructions suivantes pour le tracé des isopotentielles de :

  > AN   := {R=1,v0=10}:
  > psi  := (r-R^2/r)*sin(theta);
  > r_th := solve(psi=cte/5,r);
  > r_an1:= subs(AN,r_th[1]): r_an2:= subs(AN,r_th[2]):
  > courbe1:={seq([r_an1,theta,theta=0.1..Pi-0.1],cte=0..10)}:cte:='cte':
  > courbe2:={seq([r_an2,theta,theta=0.1..Pi-0.1],cte=-10..0)}:cte:='cte':
  > plot(courbe1 union courbe2,x=-2..2,y=-2..2,coords=polar);