3. Opérateurs rythmiques
Si le travail sur le domaine des hauteurs a déjà fait l’objet
de nombreuses recherches et théories, le domaine du rythme lui est
beaucoup moins bien fournit. En particulier, les opérateurs directement
appliqués au rythme s’intéressent le plus souvent à
un problème précis : la quantification. Cette opération
consiste à simplifier un ensemble de données temporelles
suivant une unité minimale, créant des distorsions dans les
structures musicales mais, en contrepartie, permettant par exemple de les
afficher graphiquement ou de corriger les imprécisions temporelles
d’un enregistrement Midi [Agon 94], [Assayag 97], [Assayag 94], [Brown
91], [Desain 91], [Vérière 93].
Les opérateurs réalisent des transformations complexes
sur les structures musicales sans faire de concessions sur le plan temporel,
en mettant à profit l’organisation hiérarchique des structures
temporelles intégrée dans OpenMusic.
Nous avons conçu un ensemble d’opérateurs que nous estimons
utiles pour les utilisateurs du logiciel. Cette panoplie n’est pas exhaustive,
mais elle vise à mettre en évidence un cadre général
de travail sur les structures temporelles que l’on pourra éventuellement
réutiliser pour la réalisation d’autres opérateurs.
Parmi les opérateurs réalisés, les étirements
temporels seront décrits dans la section 3.1 La fusion de structures
musicales apparaît en section 3.2. Très proche de cette dernière
opération le masquage d’une structure musicale par une autre sera
finalement décrite en 3.3.
3.1 Extension / compression temporelle
Les étirements temporels sont un premier type d’opérateurs
rythmiques dont la réalisation se prête bien à la définition
hiérarchique des objets. Cette opération prend en argument
d’une part la structure musicale que l’on souhaite transformer et d’autre
part un facteur d’étirement exprimé sous la forme d’un ratio
n / p.
Localement, un container muni d’une qvalue q et d’une durée
e, étiré d’un ratio n / p a simplement une durée e
* n dans une fraction de la noire q * p. Les positions relatives p1,...,pn
des éventuels sous containers deviennent alors p1*n,...pn*n dans
la nouvelle fraction de la noire q*p
Figure 6 : Description locale de l'algorithme
d'étirement temporel
L’algorithme d’extension / compression temporelle parcourt donc récursivement
la structure, en profondeur d’abord, en modifiant les champs qvalue
et extent des objets, et en mettant éventuellement à jour,
pour les containers, les différents offsets de ses sous objets.
3.1.1 Exemple d’étirement temporel
Prenons par exemple, comme structure initiale, la voix décrite Figure
7
Figure 7 : Structure initiale pour l'étirement
temporel
Le résultat de la compression temporelle de cette structure initiale
par un facteur 1/2 est donné sur la Figure 8 : simplement, les croches
de triolet deviennent des double croches de triolet, le demi soupir de
triolet devient un quart de soupir de triolet, la noire devient une croche
et la blanche devient une noire
Figure 8 : Compression d'un facteur 1/2
Si nous effectuons maintenant un étirement de facteur 3/2 (c’est
à dire une extension), la croche de triolet devient une croche et
la structure ternaire disparaît.
Figure 9 : Extension d'un facteur 3/2
On remarquera que le résultat obtenu et présenté Figure
9 contient des mesures augmentées. Dans ce cas précis, une
simplification était envisageable, en étirant le chiffrage
d’un même ratio, c’est à dire en écrivant deux mesures
à 3 / 4. Dans des cas plus complexes, le résultat de l’étirement
n’est pas toujours facile à représenter en notation musicale.
3.2 fusion de structures musicales :
L’opérateur de fusion prend en argument deux structures musicales
et rend comme résultat une structure dans laquelle seront regroupés
l’ensemble des éléments terminaux des structures initiales.
Lorsque plusieurs notes interviennent simultanément, elles sont
regroupées à l’intérieur d’un accord.
Une manière de raisonner pour réaliser cet opérateur
consiste à considérer une structure musicale comme étant
composée d’une part d’une ossature, c’est à dire la structure
initiale privée de ses éléments terminaux, et d’autre
part d’une frange, constituée de la liste de ses éléments
terminaux.
Figure 10 : Schéma général
de l'opération de fusion
A partir de ce point de vue, l’opération de fusion consiste à
calculer une nouvelle frange, une nouvelle ossature, et enfin à
appliquer cette frange à l’ossature. Le schéma général
de cette opération est décrit Figure 10 : les sections suivantes
en détaillent les divers composants.
3.2.1 Extraction de l’ossature
L’extraction de l’ossature est une opération simple consistant à
parcourir récursivement la structure initiale en supprimant les
éléments terminaux. Cependant, l’étape de calcul d’une
ossature commune (décrite en 3.2.4) nécessite de détecter
les éventuelles subdivisions irrégulières (triolets,
quintolets, septolets,...) qui appartiennent à la structure. Or,
cette opération n’est possible qu’en examinant chaque container
et particulièrement la manière dont son contenu est réparti.
Pour que cette opération soit toujours possible à partir
des ossatures, les éléments terminaux de la structure initiale
sont remplacés par des containers vides (reprenant leurs propriétés
temporelles) dans l’ossature extraite.
3.2.2 Extraction de la frange
Au contraire, l’extraction de la frange consiste à construire une
liste des éléments terminaux qui se trouvent dans la structure.
Pour que l’information soit conservée intégralement, il faut
que les offsets des éléments terminaux récoltés
soient exprimés de manière globale, et non plus relativement
au container d’ordre supérieur qui les contient. De manière
récursive, le calcul d’un offset absolu se fait localement par la
somme de l’offset local relatif et de l’offset absolu du niveau immédiatement
supérieur. Cette règle est appliquée récursivement
jusqu’à la racine de la structure pour laquelle l’offset absolu
vaut zéro (le paramètre offset de la racine d’une structure
n’a pas d’interprétation possible puisque la racine n’est justement
pas contenue dans une structure d’ordre supérieur qui en définirait
la qvalue).
3.2.3 Calcul de l’union des franges
L’union des franges consiste à rassembler deux franges (données
initialement) en une seule. Cet algorithme requiert un minimum de précautions
de manière à éviter les chevauchements. En effet,
la frange résultante doit pouvoir être intégrée
dans un objet de type sequence, qui interdit tout chevauchement dans son
contenu. Pour ce faire, les notes présentant une partie commune
avec celles de l’autre frange vont être fragmentées (comme
décrit sur la Figure 11) de manière à ce que
les parties communes puissent être directement intégrées
dans un objet de type chord (accord) et que le résultat ne présente
finalement plus de chevauchements.
Figure 11 : exemple d'union de deux franges
Dans l’exemple présenté Figure 11, les deux premières
notes de la frange 1 ainsi que la première note de la frange 2 sont
fragmentées. Deux accords vont être introduits afin que plus
aucune superposition n’apparaisse dans le résultat. De plus, les
notes qui sont fragmentées lors de cette opération doivent
apparaître de manière liée sur le résultat.
Il est donc nécessaire de mettre correctement à jour le champ
tie (liaison) des différents fragments, qui prend une des trois
valeurs : begin (lorsque la note considérée est la première
d’une suite de notes liées), continue (lorsque la note est à
l’intérieur d’une suite de notes liées) ou end (lorsque la
note est la dernière de la suite).
3.2.4 Calcul d’une ossature commune
Cette opération consiste à construire, à partir des
ossatures obtenues précédemment par extraction, une ossature
commune capable de recevoir et contenir correctement les éléments
terminaux résultant de l’union des franges. Une solution naïve
consisterai à ne garder que la plus longue des deux ossatures extraites.
Cette solution fonctionne correctement tant que les ossatures initiales
ne contiennent pas de subdivisions irrégulières (triolets,
quintolets, etc.). Lorsque des subdivisons irrégulières sont
présentes, il est nécessaire d’en conserver des traces :
en effet, lorsque l’on « plonge » directement un triolet dans
un quintolet, par exemple, le résultat obtenu se décrit précisément
à l’aide de valeurs exprimées en quinzième de sa durée,
sur un seul niveau d’imbrication. Le résultat est alors un quinzolet,
ce que nous cherchons précisément à éviter
(c.f. section 2.2). La solution retenue consiste donc à propager,
pour l’exemple précédent, la subdivision par trois à
l’intérieur du quintolet. L’ossature ainsi construite est alors
préparée à rendre compte d’une imbrication de subdivisions
irrégulières (Figure 12).
Figure 12 : Propagation d'une subdivision par
3 dans une subdivision par 5
Suivant cette méthode, une des deux ossatures initiales va devenir
englobante. L’autre, dont on propage les subdivisons irrégulières,
est considéré comme englobée. Le choix de l’une ou
de l’autre ossature comme englobante n’est pas innocent et s’avère
relativement délicat dans certains cas : il amène à
des résultats équivalents sur le plan temporel, mais différents
au niveau de la notation musicale. Cet aspect est mis en évidence
dans l’exemple de fusion de structures musicales donné dans la section
3.2.6.
3.2.5 Application de la nouvelle frange à la nouvelle ossature
Pour finir, cette dernière étape consiste à
reporter l’union des franges dans l’ossature commune que l’on vient de
construire. Cette opération est décrite localement
à un container et s’applique récursivement à toute
la structure dérivant de ce container. Elle prend en argument une
liste d’objets terminaux à insérer. Si le container possède
des sous-structures, il commence par passer cette liste successivement
à chacune d’entre elles : la liste intégrale est d’abord
passée à la première sous structure, puis la liste
rendue est passée à la seconde, et ainsi de suite. Finalement
le container examine les éléments restant dans la liste rendue
par la dernière sous structure, en conserve les éléments
qui lui reviennent (les éléments terminaux qui s’insèrent
dans son contenu et ne s’insèrent pas dans le contenu de ses sous-structures)
et rend le reste comme résultat (éventuellement au container
hiérarchiquement supérieur).
La Figure 13 décrit comment l’algorithme d’application d’une
frange à une ossature se déroule dans un exemple précis.
Nous partons d’une part d’une frange constituée de deux éléments
terminaux A et B (des notes), et d’autre part d’une ossature constituée
de quatre containers C1, C2, C3 et C4. C’ est imbriqué dans C3,
C2 et C3 sont imbriqués dans C1 (c.f. Figure 13, dans laquelle l’axe
horizontal représente la position temporelle). L’opération
est réalisée en 5 étapes successives en appliquant
à chaque fois l’algorithme local, tel qu’il a été
décrit précédemment.
Pour que le résultat obtenu dans l’étape 5 soit tout
à fait exact, il faut mentionner le contrôle des liaisons
musicales puisque les notes A et B ont été fragmentés,
d’une part en A1, A21 et A22, et d’autre part en B1 et B2. Cette gestion
se fait comme dans le calcul de l’union des franges, en mettant à
jour le champ tie des différents fragments.
Figure 13 : Déroulement de l’algorithme
d'application d'une frange à une ossature
3.2.6 Exemple de fusion de structures musicales
Pour terminer nous donnons un exemple de fusion. Les structures initiales
sont représentées Figure 14. Cet exemple met en valeur un
point important qu’est le choix de la structure englobante et de la structure
englobée qui est fait lors du calcul de l’ossature commune (décrit
en 3.2.4)
Figure 14 : structures initiales pour l'opération
de fusion
La Figure 15 présente le résultat de la fusion des structures
initiales de la Figure 14. La mesure de gauche correspond au cas où
le triolet est considéré comme englobant, c’est à
dire que la subdivision par 5 a été propagée dans
la subdivision par trois. La mesure de droite représente le cas
contraire, où le quintolet est englobant.
![](i04.gif)
Figure 15 : résultat de l'opération
de fusion. A gauche, la structure englobante est le triolet. A droite,
c'est le quintolet.
Si les deux résultats sont exacts et équivalents du point
de vue temporel, celui de droite peut être préférable,
car plus simple : dans le résultat de gauche, toutes les impulsions
du triolet sont nécessairement subdivisées en 5, tandis que
dans le résultat de droite, seuls les deuxième et quatrième
impulsions du quintolet sont subdivisées en trois. Dans un cadre
général, le choix de l’ossature englobante est une opération
délicate à réaliser. En particulier, il peut être
nécessaire de la construire à partir de partie de fragments
des deux ossatures initiales.
3.3 Masquage de structures musicales.
L’opération de fusion décrite précédemment
induit un cadre général de travail pour définir un
ensemble d’opérateurs symboliques qui mettent en regard des structures
différentes. En particulier, l’opération de masquage d’une
structure rythmique par une autre se déduit quasiment directement
de l’opération de fusion.
Cette opération consiste à rendre muette une structure
musicale lorsqu’une autre est active. Si le résultat correspond
à une sous partie de la première structure, celui-ci
sera quand même imprégné de l’aspect rythmique de la
deuxième. Ainsi, le calcul d’une ossature commune reste
nécessaire et est réalisé de la même manière
que dans l’opération de fusion. En revanche, le calcul de la nouvelle
frange va différer : les deux franges initiales sont extraites comme
précédemment, mais l’union des franges est remplacée
par le masquage de la première frange par la seconde, illustré
Figure 16 par un exemple.
Figure 16 : Masquage d'une frange (donnée)
par une autre (masque)
Finalement, comme dans l’opérateur précédent, la
structure résultante est calculée comme l’application de
la nouvelle frange à la nouvelle ossature.
Figure 17 : Structures initiales pour le masquage.
La première sert de donnée et la seconde de masque.
Figure 18 : Résultat. La portée
de gauche représente l’opération de masquage initiale. Celle
de droite correspond au masquage inverse. La fusion des deux résultats
permet de retrouver la structure initiale.
Le masquage inverse est réalisé en calculant un masquage
des franges avec un opérateur logique différent. C’est un
résultat qui peut également s’avérer intéressant
: le résultat correspond en fait au masque, dans lequel les hauteurs
ont été remplacées par celles de la structure initiale
(Figure 18, portée de droite). Il peut être utilisé,
par exemple, lorsque l’on souhaite filtrer une trame harmonique à
l’aide d’une séquence rythmique.