Olivier Delerue - Rapport de Stage de DEA - Etude et réalisation d'opérateurs musicaux pour un environnement de composition assitée par ordinateur.

II. Présentation des outils
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IV. Recherche

III. Développement

III.1 Opérations " bas niveau "

    Un ensemble de fonctions bas niveau (c'est à dire complètement transparentes pour l'utilisateur qui, lui, n'a accès qu'à des fonctions d'interface haut niveau) est nécessaire pour pouvoir travailler efficacement sur les structures musicales. En particulier, le système d'échelles réparties localement dans la structure et représentées par le paramètre qvalue de chaque objet peut poser quelques problèmes lorsque l'on souhaite comparer des structures musicales différentes.

    III.1.1 Calcul d'une valeur globale du paramètre qvalue 

    La fonction " fraction-minimale " calcule une valeur de qvalue compatible avec chaque niveau hiérarchique d'une structure, de manière à proposer une échelle globale (une fraction de la noire), valable pour l'ensemble de la structure.

    Le procédé est simple : il est défini de manière locale pour un élément de type simple-container, et appliqué de manière récursive à travers toute la structure.

    Si l'objet considéré (de qvalue q) n'est pas terminal et contient n sous-structures dont des valeurs de qvalue globales satisfaisantes seraient q1, q2,É,qn, alors la valeur est une fraction de la noire satisfaisante pour pouvoir décrire pleinement la structure considérée. Si l'objet est terminal, alors une fraction de la noire satisfaisante est sa propre qvalue.

    Ainsi, la structure est examinée entièrement suivant un parcours préfixe de l'arbre : à chaque niveau hiérarchique, ce parcours consiste à consulter les sous structures dans l'ordre où elles apparaissent (de la gauche vers la droite sur le schéma).

    Parcours préfixe d'une structure en arbre

    Ainsi, la qvalue commune à toute la structure est construite en remontant des feuilles vers la racine :

    III.1.2 Modification du paramètre qvalue

    La fonction " change-qvalue " se combine généralement à la précédente : une fois une valeur " qvalue " globale à toute une structure calculée, on souhaite généralement réécrire cette structure suivant la nouvelle échelle.

    Par le même parcours préfixe de la structure que pour la fonction précédente, le paramètre qvalue de chaque élément est remplacé par celui passé en argument à la fonction. De même, le paramètre extent de l'élément ainsi que les paramètres offset des objets contenus sont ajustés par une simple règle de trois.

    III.1.3 Réduction du paramètre qvalue

    Cette fonction réalise l'opération inverse aux transformations précédentes : elle rétablit l'idée d'une échelle locale en réduisant localement les paramètres qvalue, extent, et les offset des sous-structures. L'arbre est donc parcouru en calculant, cette fois ci, des diviseurs communs.

III.2 Vérification d'intégrité et primitives de formatage pour CMN 

    Avant d'être confiées à CMN, les structures musicales sont analysées et ajustées de manière à correspondre implicitement à leur représentation en notation musicale. En particulier, les fonctions décrites dans ce paragraphe réalisent de manière juste certains processus automatiques de CMN dont le comportement n'est pas satisfaisant dans tous les cas de figure.

    III.2.1 Insertion automatique de silences

    Les indications de positions temporelles présentes dans une structure musicale d'OpenMusic ne sont pas transmises à CMN : seule une liste de symboles (et de durées) est conservée, que CMN va représenter graphiquement en les juxtaposant. L'omission d'un silence dans une structure créerait donc des résultats catastrophiques lors de sa représentation en notation musicale.

    Ainsi, pour qu'une structure musicale soit interprétable et correctement représentable par CMN, il faut avant tout qu'elle soit pleine, c'est à dire qu'elle remplisse intégralement l'espace temporel sur lequel elle est définie.

     L'insertion automatique de silences consiste donc à parcourir intégralement la structure et, à chaque niveau de profondeur, à insérer des silences là où l'on trouve des " blancs ". On observe donc, à partir de chaque élément non terminal de la structure hiérarchique, comment se réparti son contenu. Lorsque des " blancs " sont repérés, c'est à dire que des sous-structures consécutives ne sont pas juxtaposées, un objet de type " silence " est crée et inséré en ajustant sa durée de manière à remplir l'espace vide.

    Effet local de l'insertion automatique de silences

       

    III.2.2 Insertion automatique d'accords

     Cette primitive réalise l'effet dual à la précédente : des éléments simultanés dans la structure musicale seront affichés de manière consécutive (car lus les uns après les autres) par CMN, à moins qu'ils ne figurent à l'intérieur d'une structure d'accord. Le même parcours de la structure musicale que dans le cas précédent est donc effectué, en regroupant les éléments terminaux simultanés à l'intérieur d'un objet de type " accord " : on construit alors un niveau hiérarchique supplémentaire. Bien évidemment, les différents cas de figure envisageables sont pris en considération : un ensemble de notes simultanées devient un accord, deux accords simultanés sont regroupés en un seul accord, un ensemble de notes et un accord simultanés sont regroupés en un accord également, etc.

     III.2.3 Gestion des subdivisions irrégulières

     Comme il était annoncé dans la section concernant les processus automatiques de CMN, les subdivisions irrégulières de la noire (triolets, quintolets,...) doivent être spécifiées explicitement pour être représentées correctement. Cela signifie qu'il faut être capable, d'une part de détecter une subdivision irrégulière, et d'autre part de transmettre des informations aux objets terminaux d'une structure musicale de manière à ce que leur évaluation vers CMN produise le chiffrage et les regroupements attendus.

     III.2.3.1 Détection d'une subdivision irrégulière

     Le prédicat " tuplet-p " a pour fonction de déterminer si un objet de type groupe ou mesure est la racine (au niveau structurel) d'une subdivision irrégulière. Le résultat de l'appel de ce prédicat est nil (la valeur " faux " en Lisp) lorsque l'objet n'est pas la racine d'une subdivision irrégulière, et un nombre entier dans le cas contraire, correspondant au chiffre qu'il faut indiquer sur la partition autour de la subdivision irrégulière.

     La manière de détecter si un groupe est la racine d'une subdivision irrégulière est de s'intéresser à la durée du groupe ainsi qu'à son contenu. Si l'extent du groupe est une puissance de deux, tous les éléments contenus se répartissent alors suivant une division " binaire " du groupe : il n'est donc pas racine d'une subdivision irrégulière.

     
    Dans un groupe dont l'extent vaut 8, les différents éléments contenus ne peuvent pas s'organiser suivant
    une division par 3 ou par 5,... Ce n'est donc pas la racine d'une subdivision irrégulière.

     Cependant, ce paramètre extent peut ne pas être exprimé de manière optimale, éventuellement contraint par le paramètre qvalue à être un multiple d'un nombre premier : par exemple si l'extent du groupe vaut 6 et si son contenu est constitué de deux éléments occupant les positions (offsets) 0 et 3, la subdivision sous-jacente est directement binaire.

    Un groupe dont l'extent n'est pas une puissance de deux
    n'est pas forcément la racine d'une subdivision irrégulière.

     Ainsi, de manière générale, repérer une subdivision irrégulière consiste à détecter le groupe qui n'est pas une subdivision régulière. Pratiquement, cela revient à vérifier que le paramètre extent du groupe considéré, réduit par le pgcd de l'ensemble constitué de ce même paramètre extent et des paramètres offset des sous-structures contenues (o1,o2,..ok) , n'est pas une puissance de deux :

     Finalement, l'algorithme se complique légèrement pour faire face à des cas particuliers. Par exemple, tel qu'il est décrit, une subdivision irrégulière sera détectée pour une mesure à 3 / 8, contenant trois croches. Un test supplémentaire sur le paramètre qvalue est donc réalisé et permet ainsi d'obtenir les résultats attendus.

    III.2.3.2 Propagation à travers la structure des informations relatives aux subdivisions irrégulières.

     Une fois la subdivision irrégulière détectée, il s'agit de propager, de manière récursive, de la racine jusqu'aux éléments terminaux, les informations nécessaires à la mise en forme. Cette opération s'avère relativement délicate du fait que plusieurs subdivisions irrégulières peuvent être imbriquées.

     On a vu par exemple que pour un triolet, la première note devra comporter le message (setf mon-triolet (beat-subdivision- (subdivision 3) ) ), la suivante : (-beat-subdivision- mon-triolet ) et la dernière : (-beat-subdivision mon-triolet ) où mon-triolet est un symbole arbitraire. 

    Observons le fonctionnement local de cette opération : un objet groupe reçoit un ensemble de trois listes : début, continue et fin correspondant aux informations à transmettre aux objets terminaux qu'il contient, correspondant à d'éventuelles subdivisions irrégulières dans lesquelles il serait imbriqué.

     Si le groupe concerné correspond à la racine d'une nouvelle subdivision irrégulière, il va à son tour préparer les informations début, continue et fin qui la concerne. Puis un appel récursif à cette fonction est réalisé en propageant les listes début, continue et fin ­ éventuellement mises à jour avec des informations locales- vers les feuilles de la structure. 

    Une précaution reste à prendre cependant, suivant le nombre d'éléments que contient l'objet considéré :

    Si l'objet contient trois sous-structures ou plus, tout se passe comme indiqué sur le schéma. En revanche si l'objet ne contient que deux sous-structures, seules les listes correspondant aux première et dernière sous-structures sont transmises. Pour finir, si l'objet ne contient qu'une seule sous structure (ce qui ne devrait pas arriver mais n'est pas gênant pour autant), les trois listes transmises sont {début} {continue}et {fin}.

    Finalement, les objets terminaux de la structure récoltent les informations contenues dans les listes et les stockent dans un champs spécial, rajoutés aux éléments simple-container.

    III.2.4 Simplification de structures musicales

     Pour finir, une dernière fonction " bas niveau " est présentée. Celle-ci a pour effet de simplifier les structures musicales en supprimant des objets de type groupe qui s'avèrent inutiles : ce sont des groupes ne contenant qu'un seul objet de taille identique à la leur. Ces objets ne font que compliquer la structure et leur suppression autorise alors d'autres simplifications. Par exemple, il peut être intéressant de regrouper deux notes consécutives et liées en une seule, lorsque leurs durées sont compatibles (deux croches liées deviennent une noire, une croche et une noire deviennent une noire pointée,É mais on peut difficilement regrouper une noire avec une croche de triolet). C'est donc ce que réalisent respectivement les fonctions " delete-useless-containers " et " do-grouping "

III.3 Compressions et Etirements symboliques

    L'organisation des objets musicaux en imbrications successives de contenants et contenus se prête assez bien à ce type de transformation. Sa définition s'exprime de manière totalement récursive de la façon suivante : pour étirer ou compresser dans le domaine temporel une structure d'un rapport n / p, on ajuste la durée totale de la racine de cette structure ainsi que les positions relatives des sous-structures contenues et on recommence cette opération de manière récursive sur les sous-structures, jusqu'aux éléments terminaux.

     Ainsi, pour peu que n et p représentent des nombres entiers, cette transformation aboutit à une structure déterminée de façon exacte, sans quantification ni approximation de nombres réels convertis en entiers.

     En effet, si un objet possède une durée d, exprimée suivant une fraction de la noire (qvalue) q, le résultat de son étirement devient une durée d * n pour une fraction de la noire q * p.

III.4 Fusion de structures musicales

     L'opération que l'on souhaite réaliser reçoit comme données deux structures musicales horizontales (des voix par exemple) et réalise une nouvelle structure de même nature reprenant les éléments terminaux (notes, silences) des deux structures initiales. Cette opération soulève des problèmes algorithmiques relativement importants.

     Le schéma opérationnel de la fusion reste relativement simple et intuitif : de chacun des deux objets musicaux originaux, on extrait d'une part une frange, c'est à dire une liste des objets terminaux de la structure hiérarchique repérés de manière absolue dans le temps, et d'autre part une structure, c'est à dire l'objet original privé de ses éléments terminaux.

    Deux opérations d'union agissent sur ces paires de franges et de structures, pour générer, d'une part une nouvelle frange (constituée donc des éléments terminaux de chacun des deux objets), et d'autre part une nouvelle structure destinée à devenir l'ossature du résultat.

    Il reste finalement à appliquer cette nouvelle frange à la nouvelle structure pour obtenir le résultat, fusion des deux objets initiaux.

    Un premier exemple de fusion mettant en regard un quintolet et un triolet permet d'avoir une idée sur le type de résultats auxquels on peut s'attendre. Les deux premières portées sont les voix originales. La troisième correspond à la fusion des deux autres :

     
    Exemple de fusion

     On remarquera, comme attendu, que des notes apparaissant de manière simultanée dans les deux voix originales, se traduisent sous forme d'accords dans le résultat de l'opération.

     L'avantage à ce qu'une telle opération soit réalisée dans le domaine symbolique (c'est à dire sans passer par une étape de quantification et ramener toutes les durées à l'échelle de la milliseconde) est que toutes les données structurelles initiales vont être conservées dans le résultat.

    Observons dans le détail les différents éléments qui composent cette transformation :

    III.4.1 Sélection de la frange

    L'opération de sélection de la frange est réalisée suivant un algorithme classique de l'informatique : c'est un parcours préfixe de l'arbre, dans lequel on ne garde que les feuilles. L'opération se concrétise donc par deux méthodes : l'une s'applique à tous les objets musicaux (simple-container), l'autre aux objets de type container. Cette deuxième court-circuite donc la première lorsque elle peut s'appliquer.

    (get-fringe ((self simple-container)) self )

    (get-fringe ((self container )) (loop for item in (inside self) append (get-fringe item)))

    Lorsque l'élément de l'arbre considéré est du type container (une voix, une mesure, un groupe,... ), le résultat de la fonction est la liste constituée de la concaténation des résultats de l'application de la fonction get-fringe à chacun de ses sous-éléments. Lorsque l'élément n'est pas un container (i.e. une note ou un silence), la fonction retourne l'élément lui même.

    La définition exacte de cette procédure diffère légèrement de la précédente. En effet, la liste résultante devra contenir des éléments terminaux dont le positionnement temporel est exprimé de manière absolue et non de manière relative à un contenant d'ordre supérieur. Il est donc nécessaire de dupliquer les éléments terminaux, en corrigeant sur la copie le champ offset. Pour ce faire il faut, lors du parcours préfixe, et de manière récursive, connaître la position absolue du contenant d'ordre supérieur : current-offset . La position absolue de l'élément considéré s'en déduit alors facilement par le calcul (+ current-offset (offset self)). Par ailleurs, il est impératif que les positions des éléments de la frange soient exprimées dans une unité commune dont la " fraction minimale " est le meilleur candidat.

    III.4.2 Sélection de la structure

    La sélection de la structure est une opération très similaire à la précédente : on effectue le même parcours préfixe dans la structure hiérarchique, en ne conservant cette fois que les éléments non terminaux. En définitive, la structure originale est dupliquée, en omettant les éléments terminaux.

    Un écart à cette définition générale reste cependant nécessaire. En effet, une subdivision irrégulière représentée par un élément hiérarchique n'est décelable qu'en présence du contenu de cet élément et de la manière dont il est réparti. Or, conserver la trace de ces subdivisions irrégulières s'avère indispensable pour effectuer l'opération d'union des structures. Ainsi, dans le cas d'un élément représentant la racine hiérarchique d'une subdivision irrégulière, les éléments terminaux qu'il contient éventuellement sont conservés sous forme de groupes.

    III.4.3 Union des franges

     Cette opération est plus que l'union des deux listes, triée suivant l'ordre croissant des positions temporelles. Les notes figurant dans les deux objets originaux apparaîtront dans l'objet résultat, soit sous forme de note lorsqu'elles sont isolées, soit sous forme d'accord lorsqu'elles apparaissent de manière simultanée avec d'autres notes. Ainsi il est nécessaire, pour pouvoir constituer des accords, que les notes simultanées aient la même durée et donc d'effectuer éventuellement une fragmentation de certaines notes pour les ajuster à des durées plus courtes. Sans rentrer vraiment dans le détail de la programmation, le schéma suivant illustre la tâche de cette opération :

    Evidemment, les différents fragments d'une même note devront être rassemblés par des liaisons musicales.

    III.4.4 Union des structures

     Le but de cette opération est de proposer, à partir des structures obtenues par sélection, une nouvelle structure capable de recevoir et contenir correctement les éléments terminaux de l'union des deux franges.

    Une solution naïve consisterai à ne garder que la plus longue des deux structures, dans laquelle l'ensemble des éléments terminaux pourraient s'insérer entièrement. Cette solution fonctionne en effet relativement correctement lorsque les deux objets à fusionner ne contiennent pas de subdivisions irrégulières.

    Lorsque des subdivisions irrégulières sont présentes, il est nécessaire d'en conserver les traces. En effet, si l'on plonge directement les éléments d'un triolet dans un quintolet, le résultat sera un contenant dont le contenu se décrit précisément à l'aide de valeurs exprimées en quinzièmes de sa durée : un " quinzolet ".

    En revanche, si l'on propage comme suit la subdivision par trois à l'intérieur du quintolet, la structure est préparée pour construire une subdivision ternaire dans une subdivision par 5.

     
    Exemple de propagation d'une subdivision par trois dans une subdivision par cinq.

       

    Cependant, choisir de propager les subdivisions irrégulières de la structure la plus courte dans la structure la plus longue n'est pas non plus forcément la meilleure solution. En effet, on peut considérer qu'une des deux structures va devenir englobante et c'est dans cette structure que seront propagées les subdivisions irrégulières. Mais le choix de l'une ou l'autre structure comme englobante amène à deux résultats différents.

     L'exemple suivant illustre ce problème : les deux premières voix représentent les objets à fusionner, un quintolet de doubles croches mis en regard avec un triolet de croches. La troisième portée est la fusion résultante dans le cas où le quintolet est englobant : la subdivision par trois est propagée à l'intérieur du quintolet et le résultat est un quintolet de doubles croches dont les éléments sont éventuellement divisés en trois. La quatrième portée représente le cas contraire, le triolet est englobant et le résultat est un triolet dont chaque élément est ­ forcément - subdivisé en cinq.

       

     Si du point de vue musical les deux écritures sont exactes, de manière évidente la première est la plus acceptable - car la plus simple. L'heuristique sous-jacente veut que l'on choisisse, lorsque c'est possible, la plus grande des deux subdivisions comme structure englobante.

     Quoi qu'il en soit, la décision de choisir telle ou telle structure comme englobante (en la prolongeant éventuellement lorsque la plus courte a été choisie), ou de tenter de construire une structure plus optimale quand à la simplicité du résultat, revient à l'utilisateur.

    III.4.5 Application d'une frange à une structure

     Cette dernière étape consiste donc à insérer l'ensemble des éléments que constitue l'union des franges dans la structure réceptrice. La primitive " applique-liste-structure " est définie localement et va s'appeler de manière récursive le long d'un parcours préfixe de la structure finale, en transportant une liste d'objets terminaux.

     Définition locale de la primitive :

    Un container reçoit une liste d'objets terminaux a insérer. S'il possède des sous structures, il va commencer par passer cette liste à sa première sous-structure (les sous-structures sont ordonnées suivant leur ordre d'apparition temporel) : c'est donc un appel à la même primitive, un niveau hiérarchique plus bas. Le résultat de cet appel contient tous les éléments que sa première sous structure a rejetés. Il passe la liste rejetée à sa deuxième sous structure, puis le rejet de la deuxième à sa troisième, etc. Lorsque la dernière sous structure a réalisé son opération, le container récolte dans le rejet ce qui lui revient (les éléments terminaux qui ne s'insèrent pas dans ses sous structures mais qui s'insèrent dans son contenu) et rend le reste des éléments terminaux (au container hiérarchiquement supérieur qui lui avait confié la tâche).

    Lorsqu'un container récolte les éléments terminaux qui lui reviennent, plusieurs cas de figure peuvent se présenter :

    Les cas 1 et 5 sont triviaux : l'objet terminal est soit conservé (cas 1) soit rejeté (cas 5). Dans les trois autres cas, l'objet terminal sera fractionné (en deux parties dans les cas 2 et 3, et en trois parties pour le cas 4) en une partie qui s'insère dans le container et une (ou deux) parties qui seront rejetées (et donc retenues par un container d'ordre supérieur ou voisin). Si l'objet terminal est une note, il faudra alors que ses différentes fractions apparaissent musicalement liées à l'écran.

    Illustrons cet algorithme par un exemple : on suppose que l'on veut appliquer deux éléments terminaux A et B à une structure de containers C1, C2, C3 C4 comme suit :

    Le container C1 reçoit la liste A, B et, comme il n'est pas terminal, la transmet directement à son premier fils C2.

    C2 est un élément terminal de la structure. Le container ramasse donc la partie des éléments terminaux qui lui revient : A est fragmenté en A1 et A2, et B n'est pas touché. C2 garde donc A1 et rejette (A2, B) :

    C1 passe ensuite la liste (A2, B) rejetée par C2 à son deuxième fils C3. Celui-ci n'est pas terminal, donc il fait suivre la liste à son fils C4.

    C4 est terminal, donc ramasse ce qui lui revient. A2 n'est pas touché et B est fractionné en B1 et B2. Finalement C4 conserve B1 et rejette (A2, B2) :

    C3 reçoit (A2, B2) de C4 et n'a plus de fils à qui passer la liste. C3 ramasse donc ce qui lui revient : A2 est segmenté en A21 et A22. C3 conserve A22 et rejette A21 et B2.

    Finalement, le container C1 reçoit la liste (A21, B2) de son dernier fils. Il conserve donc ce qui lui revient : A21 rentre complètement et B2 est définitivement rejeté.

    Pour terminer, ce résultat serait exact si A et B étaient des silences. Dans le cas où A, par exemple, est une note, il faut lier (au sens musical) ses différentes fractions. Le résultat est alors :

     Comment lier les segments de A ? Lorsque A est segmenté en A1 A2, A n'a encore, a priori, aucune valeur de liaison. A1 reçoit donc la valeur "début" et A2 la valeur "fin". Puis, lorsque A2 est segmenté en (A21, A22), A21 reçoit la valeur "continue" et A22 la valeur "fin".

    Le tableau de correspondances suivant permet de déterminer dans le cas général les valeurs de liaison à assigner au fragments A1 et A2 en fonction de la valeur précédente assignée à A :

    Valeurs de liaison lors de la fragmentation d'une note

    Ancienne valeur de A

    Valeur de A1

    Valeur de A2

    Aucune

    Début

    Fin

    Début

    Début

    Continue

    Fin

    Continue

    Fin

    Continue

    Continue

    Continue

     En conclusion, on comprend aisément que de telles opérations, respectant la structure rythmique au niveau symbolique, n'aient pas fait l'objet d'un grand nombre de réalisations informatiques : l'algorithme sous-jacent à des transformations qui, du point de vue musical, semblent très simples, est parfois relativement complexe à mettre en Ïuvre.

III.5 Variantes