Probl�me avec correction propos� par St�phan Tassart
IRCAM, 1 place Igor Stravinsky, 75004 PARIS
tassart@ircam.fr
http://www.ircam.fr/equipes/analyse-synthese/tassart
Mai 1996
Apr�s que Newton ait r�solu le probl�me du calcul de l'orbite d'une seule plan�te autour du soleil (ce qui donne une orbite soit elliptique, soit hyperbolique, soit parabolique � la limite), il �tait naturel de s'attaquer au probl�me de deux plan�tes tournant simultan�ment autour du soleil. Les meilleurs esprits du si�cle dernier en math�matique et en physique se sont attel�s � cette t�che, autrement connu sous le nom de probl�me des trois corps.
La premi�re �tape consistait � trouver une solution analytique exacte, de la m�me fa�on que dans le probl�me � deux corps on aboutit � des solutions quadratiques pour le mouvement. Il s'est rapidement av�r� que le point crucial consistait � d�terminer un nombre suffisant de quantit�s qui se conservaient dans le syst�me, comme par exemple l'�nergie, le moment angulaire...Apr�s un certain temps, il a �t� prouv� que le probl�me des trois corps ne poss�daient pas suffisamment de quantit�s dites conservatrices pour pouvoir �tre int�grable. Autrement dit, il �tait illusoire de vouloir r�soudre le probl�me dans toute sa g�n�ralit�.
Le probl�me que nous allons �tudier est une simplification du probl�me
original. Nous consid�rons deux objets relativement massifs, de masses
respectives 
et 
, en orbite quasi-circulaire autour de
leur centre de gravit� commun. On rajoute un troisi�me corps de masse
n�gligeable par
rapport aux deux autres, orbitant celon la m�me p�riode que les
pr�c�dants. Nous allons montrer que sous ces hypoth�ses, il existe 5
positions o� les forces gravitationnelles exerc�es par les deux astres
sur le petit contre-balancent exactement la force centrifuge qui s'exercent
sur le petit corps. Ces positions s'appellent en M�canique C�leste les
points de Lagrange. Un objet plac� en l'un de ces 5 points
resterait en place ind�finiment par rapport aux deux astres. L'objet
du probl�me est d'�tudier ces points de Lagrange.
