Problème avec correction proposé par Stéphan Tassart
IRCAM, 1 place Igor Stravinsky, 75004 PARIS
tassart@ircam.fr
http://www.ircam.fr/equipes/analyse-synthese/tassart
Mai 1996
Après que Newton ait résolu le problème du calcul de l'orbite d'une seule planète autour du soleil (ce qui donne une orbite soit elliptique, soit hyperbolique, soit parabolique à la limite), il était naturel de s'attaquer au problème de deux planètes tournant simultanément autour du soleil. Les meilleurs esprits du siècle dernier en mathématique et en physique se sont attelés à cette tâche, autrement connu sous le nom de problème des trois corps.
La première étape consistait à trouver une solution analytique exacte, de la même façon que dans le problème à deux corps on aboutit à des solutions quadratiques pour le mouvement. Il s'est rapidement avéré que le point crucial consistait à déterminer un nombre suffisant de quantités qui se conservaient dans le système, comme par exemple l'énergie, le moment angulaire...Après un certain temps, il a été prouvé que le problème des trois corps ne possédaient pas suffisamment de quantités dites conservatrices pour pouvoir être intégrable. Autrement dit, il était illusoire de vouloir résoudre le problème dans toute sa généralité.
Le problème que nous allons étudier est une simplification du problème
original. Nous considérons deux objets relativement massifs, de masses
respectives 
et 
, en orbite quasi-circulaire autour de
leur centre de gravité commun. On rajoute un troisième corps de masse
négligeable par
rapport aux deux autres, orbitant celon la même période que les
précédants. Nous allons montrer que sous ces hypothèses, il existe 5
positions où les forces gravitationnelles exercées par les deux astres
sur le petit contre-balancent exactement la force centrifuge qui s'exercent
sur le petit corps. Ces positions s'appellent en Mécanique Céleste les
points de Lagrange. Un objet placé en l'un de ces 5 points
resterait en place indéfiniment par rapport aux deux astres. L'objet
du problème est d'étudier ces points de Lagrange.
