École mathématique pour musiciens et autres non-mathématiciens

animée par Yves André (CNRS/Ens)

Il s'agira de rendre compréhensible un concept central de la mathématique la plus contemporaine à des non-spécialistes, en tentant de les mener au cœur de la pensée mathématique la plus active, et sans économiser ni la spécificité de l'écriture mathématique, ni une partie du labeur démonstratif (même si celui-ci ne saurait être, dans le cadre d'une vulgarisation, de nature intégrale). Il ne s'agira pas d'" appliquer " les mathématiques à la musique, que ce soit sous une modalité technique et calculatoire ou sous une forme plus métaphorique. La 'raisonance' possible du concept mathématique avec la musique ne sera pas au cœur de l'exposé lequel visera, simplement (si l'on ose dire !), à transmettre le plus fidèlement possible, le contenu de pensée investi dans le concept examiné (et, bien sûr, dans la théorie mathématique où il prend place), sans négliger, tout au contraire, les aperçus historiques qui peuvent permettre d'apprécier les problématiques au cœur desquelles se déploie le concept présenté.

Programme de l'école

** Année 2006-2007 **

- Samedi 9 décembre 2006 : Aperçus sur les algèbres d'opérateurs (algèbres de von Neumann). Vidéo.

Quelques repères bibliographiques :

- Samedi 24 mars 2007 : Les topos de Grothendieck. Vidéo.

Quelques repères bibliographiques :

 

- Samedi 12 mai 2007 : Idées Galoisiennes (théorie de l’ambiguïté). Vidéo.

Quelques repères bibliographiques :

 

** Année 2007-2008 **

 

- Samedi 1er décembre 2007 : Représentations linéaires et Analyse harmonique. Vidéo.

On commencera par une présentation des idées fondamentales de linéarisation et de représentation en mathématique, avant d'esquisser la théorie des représentations linéaires des groupes, initiée (dans le cas des groupes finis) par Frobenius à la fin du XIXe siècle. Un acteur majeur fut H. Weyl qui, en liaison avec ses travaux sur les fondements de la mécanique quantique, fit la jonction inattendue avec l'analyse harmonique de Fourier et créa l'analyse harmonique non-commutative.

Le rêve de Burnside de mettre à profit l'impressionnante effectivité de la théorie des représentations linéaires pour classifier tous les groupes finis simples s'est finalement réalisé au bout d'un siècle. Entre-temps, cette théorie avait permis à Killing et Cartan de classifier tous les groupes infinis "continus" simples. Nous terminerons en expliquant comment le problème général de classification des représentations linéaires mène à une trichotomie (fini, modéré, sauvage), et comment l'indécidabilité surgit au cœur de situations extrêmement concrètes et apparemment élémentaires.

 

Quelques repères bibliographiques :

 

- Samedi 15 mars 2008 : Singularités. Vidéo.

L'acception la plus courante du terme "singularité" en mathématique est celle qui s'oppose à "lissité": il s'agit du lieu - grain, pli, fronce, etc.. - où le principe général de linéarisation tombe en défaut. 
Au cours d'une présentation phénoménologique des singularités et bifurcations (comment elles apparaissent, se déploient, disparaissent - en laissant des traces...), nous nous attacherons à illustrer deux "thèses" qui se dégagent de la théorie foisonnante des singularités: 1) un peu à la manière de Platon dans le Timée, cette théorie jette un pont (très subtil) entre le monde continu et le monde discret, 2) comme disait P. Montel (en exagérant volontairement), "les fonctions sont, comme les êtres vivants, caractérisées par leurs singularités".

 

Quelques repères bibliographiques :

http://www1-c703.uibk.ac.at/mathematik/project/bildergalerie/gallery.html
http://www1-c703.uibk.ac.at/mathematik/project/animationenvonflaechen/start.html

 

- Samedi 17 mai 2008 : Dualité(s).

La dualité est présente depuis la nuit des temps dans la pensée humaine. Elle était à la base de la conception du monde des anciens égyptiens, bâtie sur des doublets conceptuels antagonistes. Elle a traversé toute la philosophie occidentale, de Platon à Descartes et au-delà, en se modifiant considérablement. En physique, rappelons le rôle capital joué par la dualité onde-corpuscule dont l'histoire s'étend de Huygens et Newton à Heisenberg.

Aussi est-il curieux de constater que la dualité ne fait son entrée que tardivement en mathématiques, dans les années 1820 (à propos de géométrie projective). Cette idée fondamentale a peu à peu essaimé, sous divers avatars, dans toutes les branches des mathématiques, tout en conservant son sens original extrêmement précis.

 

Quelques repères bibliographiques :

 

 

** Année 2008-2009 **

 

- Samedi 7 février 2009 : "Des infinis subtils"

Les Mathématiques passent, pour de bonnes et de mauvaises raisons, pour la science de l'infini. Il est indéniable que l'infini est, de nos jours, le pain quotidien du mathéma-ticien. Sa mie n'est pas toujours tendre, mais il a perdu sa croûte métaphysique, et avec elle la méfiance et la répugnance qu'il a inspirées aux mathématiciens, de l'antiquité jusqu'au début du XX e siècle.


Les textes des interventions d'Yves André sont réunis dans l'ouvrage Leçons de Mathématiques contemporaines à l'IRCAM (inédit), disponible ici en pdf.

Table des matières (détaillée)

Introduction
1 Espace I. Topos
2 Espace II. Algèbres d'opérateurs
3 Symétries I. Idées galoisiennes
4 Symétries II. Représentations linéaires

5 Singularités
6 Dualité
7 "Des infinis subtils"
8 Épilogue : s'orienter dans la pensée mathématique (version abrégée d'un texte à paraître dans un numéro spécial de la Revue de Synthèse, "Mathématique, Musique et Philosophie", sous la direction de Charles Alunni, Moreno Andreatta et François Nicolas)

Index terminologique, Index de mathématiciens cités et Glossaire des structures de base


 

Contacts

L'école Mathématique pour musiciens et d'autres non-mathématiciens est organisée sous l'égide du séminaire Mathématiques/Musique et Philosophie (dir. François Nicolas, Charles Alunni et Moreno Andreatta) et du séminaire MaMuX (Mathématiques/Musique et relations avec d'autres disciplines, coorganisé par M. Andreatta et Carlos Agon). Avec le soutiens du CNRS (UMR 9912 Sciences et technologies de la musique et du son)

Pour tout renseignement, contacts et propositions sur l'école, le séminaire MaMuPhi ou le séminaire MaMuX :

François Nicolas (fnicolas AT ens.fr)

Charles Alunni (Charles.Alunni AT ens.fr)

Moreno Andreatta (andreatta AT ircam.fr)

Carlos Agon Amado (agonc AT ircam.fr)

[AT = @]

 

[Février 2009]